(windows) Python 2.7 学习笔记 十四 递归函数

递归函数

在函数内部,可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身,这个函数就是递归函数。

举个例子,计算阶乘 n! = 1 x 2 x 3 x … x n,用函数 fact(n) 表示,可以看出:(n! 就是 n 的阶乘)

fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 1) x n = (n – 1)! x n = fact(n – 1) x n

所以,fact(n) 可以表示为 n x fact(n – 1),只有 n = 1 时需要特殊处理。

于是,fact(n) 用递归的方式写出来就是:

上面就是一个递归函数:

fact(5) 根据函数定义,推出计算过程:

===> fact(5)
===> 5 * fact(4)
===> 5 * (4 * fact(3))
===> 5 * (4 * fact(3 * fact(2)))
===> 5 * (4 * fact(3 * fact(2 * fact(1))))
===> 5 * (4 * fact(3 * fact(2 * 1)))
===> 5 * (4 * fact(3 * 2))
===> 5 * (4 * 6)
===> 5 * 24
===> 120

递归函数的优点是定义简单,逻辑清晰。理论上,所有的递归函数都可以写成循环的方式,但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中,函数调用是通过栈(stack)这种数据结构实现的,每当进入一个函数调用,栈就会加一层栈帧,每当函数返回,栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的,所以,递归调用的次数过多,会导致栈溢出。如 fact(1000)

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化,事实上尾递归和循环的效果是一样的,所以,把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指,在函数返回的时候,调用自身本身,并且,return 语句不能包含表达式。这样,编译器或者解释器就可以把尾递归做优化,使递归本身无论调用多少次,都只占用一个栈帧,不会出现栈溢出的情况。

上面的 fact(n) 函数由于 return n * fact(n – 1) 引入了乘法表达式,所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式,需要多一点代码,主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中:

return fact_iter(num – 1, num * product) 仅返回递归函数本身,num – 1num * product 在函数调用前就会被计算,不影响函数调用。

fact(5) 对应的 fact_iter(5, 1) 的调用如下:

===> fact_iter(5, 1)
===> fact_iter(4, 5)
===> fact_iter(3, 20)
===> fact_iter(2, 60)
===> fact_iter(1, 120)
===> 120

尾递归调用时,如果做了优化,栈不会增长,因此,无论多少次调用也不会导致栈溢出。

大多数编程语言没有针对尾递归做优化,Python 解释器也没有做优化,所以,即使把上面的 fact(n) 函数改成尾递归方式,也会导致栈溢出。


使用递归函数的优点是逻辑简单清晰,缺点是过深的调用会导致栈溢出。

针对递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的,没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。

Python 标准的解释器没有针对尾递归做优化,任何尾递归函数都存在栈溢出的问题。

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